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Seminar zu Symmetrien in der Quentenmechanik - WS24/25

Dozent: Prof. Stefan Dittmaier

Zum Thema des Seminars:

  • Symmetrien und deren mathematische Beschreibung sind die Grundlagen zum Verständnis von Entartung und Auswahlregeln für Übergänge in quantenmechanischen Systemen. Wichtige Beispiele sind die Drehsymmetrie und die damit verbundene Theorie des Drehimpulses (Bahndrehimpuls, Spin, Drehimpulsaddition, Wigner-Eckart-Theorem), Translationssymmetrie (Bloch-Theorem), "Austausch-Symmetrien" in Mehrteilchensystemen (Moleküle, Kristalle), etc.

  • Die mathematische Sprache, in denen Symmetrien formuliert werden, ist die Gruppentheorie, insbesondere die Darstellungstheorie von Gruppen. In der Physik sind sowohl diskrete Gruppen (mit endlich oder abzählbar unendlich vielen Elementen) als auch Lie-Gruppen (mit kontinuierlich parametrisierten Elementen) von Bedeutung.

  • Ausblick (jenseits des Seminars):
    Das mathematische Verständnis von Gruppen ist im Aufbau von Quantenfeldtheorien von grundlegender Bedeutung. Die Poincare-Symmetrie der Speziellen Relativitätstheorie legt die Grundstruktur relativistischer Quantenfeldtheorie fest, und kompakte Lie-Gruppen bilden den mathematischen Rahmen für den Aufbau von "Eichtheorien" fundamentaler Wechelwirkungen (Quantenelektrodynamik, Quantenchromodynamik der Starken Wechselwirkung, Glashow-Salam-Weinberg-Modell der Elektroschwachen Wechselwirkung).

Zielgruppe: BSc-Studierende

Voraussetzungen: 

  • Theoriegrundvorlesungen Theoretische Physik 1+3

  •  Mathematik-Vorlesungen des BSc Physik

  • Begeisterung für Theoretische Physik

Umfang der Lehrveranstaltung: 2 SWS, 4 ECTS

Termine und Anmeldung:

Vorbesprechung: wird noch bekannt gegeben.
Weitere Termine: voraussichtlich Do 14-16 in SR2/3, Physik-HH.
Anmeldung sowie Zugang per Zoom über ILIAS-Seite zum Seminar.

Anforderungen für Prüfungsleistung:

  • Mündlicher Seminarvortrag zu ca. 40min.
  • Handout zum Vortrag.
  • Teilnahme an allen Seminarvorträgen.

Mögliche Seminarthemen:

  • Symmetrie-Transformationen in der QM (allgemeines Konzept, Entartung, Translationen, Drehungen

  • Wigner-Theorem

  • Grundbegriffe der Gruppentheorie (Definition, Untergruppe, Klassen, invariante Untergruppe, Darstellung)

  • Schursches Lemma (Irreduzible Darstellungen, Beispiele, u.a. Bloch-Theorem)

  • Endliche Gruppen 1 (Charaktere, reguläre Darstellung, Orthogonalitätsrelationen)

  • Endliche Gruppen 2 (Anwendungen)

  • Lie-Gruppen und Lie-Algebren (Casimir-Operatoren, Integration und Haarsches Gruppenmaß)

  • Irreduzible Darstellungen der SO(3) und SU(2)

  • Produktdarstellungen, Drehimpulsaddition

  • Sphärische Tensoren und Wigner-Eckart-Theorem

  • Fortgeschrittene Themen:

    1. Tensoren der SO(N) und SU(N)

    2. Supersymmetrische QM

    3. Lorentz-Symmetrie der relativistischen QM (Anwendung: Klein-Gordon-Gleichung, Dirac-Gleichung)

    4. SU(3) und ihre Darstellungen

Literatur zum Thema:

  • S.Dittmaier, Script zur Vorlesung "Group Theory for Physicists", SS23 (Online-Version unter ILIAS).
    Siehe auch Literaturliste am Ende des Scripts.
  • A.Wipf, "Symmetrien in der Physik", Springer-Spektrum, 2023.
  • A.Zee, "Group Theory in a Nutshell for Physicists'', Princeton University Press, 2016.
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